Gráfica de una función inversa 

diagrama sagital función inversa

Definición de Función Inversa

Sea f una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto , es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen  sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f ^-1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f ^-1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

•  y
• .

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f⁻¹(x), y la inversa de una función, .

Cálculo de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2.Se despeja la variable x en función de la variable y.

3.Se intercambian las variables.

Ejemplos

Calcular la función inversa de:

1.